Capitulo 9
Hipótesis
estadística:
cualquier afirmación o aseveración que se formula acerca de cualquier
característica poblacional.
Hipótesis
paramétrica:
aquella hipótesis estadística planteada para controlar o verificar el valor
numérico de un parámetro.
·
Posibles
situaciones del valor numérico del parámetro:
1.
El
valor numérico del parámetro q es exactamente igual
a un determinado valor postulado q0.
2.
El
valor numérico del parámetro q es menor a un
determinado valor postulado q0.
3.
El
valor numérico del parámetro q es mayor a un
determinado valor postulado q0.
Cursos de acción: acción que se
llevaría a cabo, si se conociese el verdadero valor del parámetro q.
Desigualdad
equivalente a la igualdad: aquella desigualdad entre el parámetro q
y el valor postulado q0, que provoca el
mismo curso de acción que se llevaría a cabo con la igualdad entre el valor del
parámetro q y el valor postulado q0.
Desigualdad no equivalente
a la igualdad: aquella
desigualdad entre el parámetro q y el valor postulado
q0, que provoca un curso de acción distinto al
que se llevaría a cabo con la igualdad entre el valor del parámetro q
y el valor postulado q0.
Hipótesis
nula H0: aquella
hipótesis que establece que la diferencia entre el verdadero valor del
parámetro q, y el valor que se postula q0
es
cero.
La hipótesis nula debe plantearse como la
igualdad entre el valor del parámetro y el valor postulado. H0: q
= q0. Esta igualdad puede estar acompañada o no por
alguna de las dos desigualdades, según sea el curso de acción a seguir y la
existencia o no de alguna desigualdad equivalente.
Tipos:
û Hipótesis nula única: cuando no hay desigualdad
equivalente. Se postula un único valor posible para el parámetro q.
H0: q
= q0
û Hipótesis nula múltiple: cuando hay
desigualdad equivalente. Se postula un conjunto semicerrado de posibles valores
del parámetro q. Si hay una desigualdad equivalente, ésta
debe acompañar a la igualdad porque ambas provocan el mismo curso de acción.
o
Si
la desigualdad equivalente es la desigualdad menor, entonces la hipótesis nula
múltiple es H0: q
≤ q0
o
Si
la desigualdad equivalente es la desigualdad mayor, entonces la hipótesis nula
múltiple es H0: q
≥ q0
Hipótesis
alternativa H1: aquella hipótesis que debería cumplirse si la hipótesis
nula no es cierta.
Tipos:
û Hipótesis alternativa única: cuando hay un solo
valor alternativo del parámetro q, q1
que
debería ser en el caso de que la hipótesis nula no sea cierta. H1: q
= q1
û Hipótesis alternativa múltiple: cuando hay un conjunto
abierto de posibles valores alternativos del parámetro q,
en caso de que se rechace la hipótesis nula.
o
Si
la hipótesis nula es única, no hay desigualdad equivalente, se plantea H1:
q ≠ q0
o
Si
la hipótesis nula no es única, y la desigualdad equivalente es la desigualdad
menor, se plantea H1: q > q0
o
Si
la hipótesis nula no es única, y la desigualdad equivalente es la desigualdad
mayor, se plantea H1: q < q0
Prueba
de hipótesis nula: método
estadístico con el cual, a partir de los datos de una muestra aleatoria, se
decide acerca de la veracidad o falsedad de la hipótesis nula formulada,
pudiéndose calcula la probabilidad de cometer n error en la decisión tomada.
Estadígrafo
de prueba: para
pruebas paramétricas, estadígrafo apropiado ep, con el que se realiza la prueba
de hipótesis, que mida la discrepancia, d, entre el parámetro a probar y el
estimador correspondiente y, además tiene una distribución de probabilidad
conocida.
Región
crítica Rc:
subconjunto del dominio D con el que se rechaza la hipótesis nula.
û Si hay una
desigualdad equivalente, Rc está formada por un subconjunto semicerrado. La
prueba es unilateral.
û Si no hay una
desigualdad equivalente, Rc está formada por dos subconjuntos semicerrados
mutuamente excluyentes de igual tamaño. La prueba es bilateral.
Región
de no rechazo, Ra = (D-Rc): subconjunto del dominio D con el que no se rechaza la
hipótesis nula.
Punto
crítico pc:
frontera de la región crítica.
û Cuando la prueba es
unilateral hay un solo pc.
û Cuando al prueba es
bilateral hay dos pc.
Regla
de decisión:
aquella regla que establece las pautas para rechazar la hipótesis nula y se
enuncia: si el valor numérico del estadígrafo de prueba pertenece a la región
crítica, entonces se rechaza la hipótesis nula, en caso contrario, si el valor
numérico del estadígrafo de prueba no pertenece a la región crítica entonces no
se rechaza la hipótesis nula.
û Si ep ε Rc → se
rechaza H0
û Si ep Ɇ Rc → no se
rechaza H0
Error
de tipo I ETI:
hecho de rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es cierta.
Error
de tipo II ETI:
hecho de no rechazar la hipótesis nula cuando la hipótesis nula es falsa.
Nivel
de significación:
probabilidad de cometer el error de tipo I, o sea, a la probabilidad de
rechazar la hipótesis nula cuando es cierta. El nivel de significación se
simboliza con la letra α y mide el tamaño de la región crítica. Α= P(ETI)
Potencia
de la prueba:
probabilidad de no cometer el error de tipo II, o sea, a la probabilidad de
rechazar la hipótesis nula cuando es falsa. La potencia de la prueba se
simboliza con la letra π.
Acción
derivada:
acción que se lleva a cabo según el resultado de la decisión estadística que se
tome, rechazar o no rechazar la hipótesis nula.
Pasos para la prueba de hipótesis
paramétrica:
1.
Establecer
parámetro a probar.
2.
Indicar
cursos de acción.
3.
Verificar
si hay desigualdad equivalente.
4.
Plantear
hipótesis nula y alternativa.
5.
Indicar
estadígrafo de prueba y su distribución de probabilidad.
6.
Establecer
región crítica y el o los puntos críticos teniendo en cuenta:
a.
Si
la desigualdad no equivalente es la desigualdad menor, toda la región crítica
está a la izquierda y el punto crítico es el fractil α.
b.
Si
la desigualdad no equivalente es la desigualdad mayor, toda la región crítica
está a la derecha y el punto crítico es el fractil (1- α)
c.
Si
no hay desigualdad equivalente la región crítica se particiona en dos. Una
parte a la izquierda cuyo punto crítico es el fractil (α/2) y la otra parte a
la derecha cuyo punto crítico es el fractil [1-( α/2)]
7.
Plantear
regla de decisión estadística para rechazar o no la hipótesis nula.
8.
Calcular
valor del estadígrafo de prueba y verificar a que región pertenece.
9.
Tomar
la decisión estadística.
10.
Llevar
a cabo la acción derivada.
Estadígrafos
de prueba para la prueba de hipótesis de la media de poblaciones normales
a.
Poblaciones infinitas
con varianza poblacional conocida
Estadígrafo
de prueba Distribución
normal
b.
Poblaciones finitas
con varianza poblacional conocida
Estadígrafo
de prueba Distribución
normal
c.
Poblaciones infinitas
con varianza poblacional desconocida
Estadígrafo
de prueba Distribución
t de student con (n-1)
d.
Poblaciones finitas
con varianza poblacional desconocida
Estadígrafo
de prueba Distribución
t de student con (n-1)
Estadígrafos
de prueba para la prueba de hipótesis de la media de poblaciones no normales
e.
Poblaciones infinitas
con varianza poblacional conocida: n>30
Estadígrafo
de prueba Distribución
normal
f.
Poblaciones finitas
con varianza poblacional conocida
Estadígrafo
de prueba Distribución
normal
g.
Poblaciones infinitas
con varianza poblacional desconocida
Estadígrafo
de prueba Distribución
normal
h.
Poblaciones finitas
con varianza poblacional desconocida
Estadígrafo
de prueba Distribución
normal
Estadígrafos
de prueba para la prueba de hipótesis de la proporción de elementos con un
atributo
i.
Poblaciones infinitas
n>50
Estadígrafo de prueba Distribución
normal
j.
Poblaciones finitas n>50
Estadígrafo de prueba Distribución
normal
Estadígrafos
de prueba para la prueba de ho de la varianza poblacional de poblaciones
normales
k.
Poblaciones infinitas
(caso único)
Estadígrafo
de prueba Distribución
Ji cuadrado con (n-1)
Estadígrafos
de prueba para la prueba de hipótesis de la comparación de dos poblaciones
- Parámetro diferencia de medias poblacionales: diferencia es
distinta o significativamente distinta de cero.
- Parámetro cociente entre las varianzas: cociente entre las
varianzas poblacionales es igual a uno o no.
- Parámetro diferencia de proporciones poblacionales: diferencia entre las
proporciones es cero o no.
Estadígrafos
de prueba para comparar las varianzas poblacionales de dos poblaciones normales
Estadígrafo de prueba
Distribución f de snedecor con (n-1) arriba y (n2-1) abajo
Estadígrafos
de prueba para comparar las medias poblacionales de dos poblaciones normales
l.
Poblaciones con
varianza poblacional conocida
Estadígrafo de prueba Distribución
normal
m.
Poblaciones con
varianza poblacional desconocida pero iguales
Estadígrafo de prueba Distribución
t de student con (n1 + n2-2)
Varianza amalgamada
n.
Poblaciones con varianza
poblacional desconocida pero distintas
Estadígrafo de prueba Distribución
t de student con v gl.
V
Estadígrafos
de prueba para comparar las proporciones poblacionales de dos poblaciones
Estadígrafo de prueba Distribución
normal
Al capitulo 10
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