Resumen Capitulo 7 - Estadistica Caprilgioni - FCE UBA

Al capitulo 8

Capitulo 7

Universo: conjunto de unidades experimentales que poseen características comunes observables para obtener información sobre un hecho particular.

·         Según la cantidad de unidades experimentales que lo integran, los universos pueden ser finitos o infinitos.

·         Queda determinado cuando se establece cuál es el objetivo del trabajo a realizar.

Población: variables particulares que se estudian en un universo. Cada universo origina tantas poblaciones como variables se estudian de él. N: tamaño del universo o población.

Censo: es la observación del universo y la medición, a la totalidad de las unidades experimentales que lo conforman, de todas las variables que previamente hayan sido declaradas relevantes para la investigación. Es un método estático.

Muestra: subconjunto o parte de una población sobre la base de la cual se puede hacer un juicio acerca de ésta. n: tamaño de la muestra.

Fracción de muestreo: cociente entre el tamaño de la muestra y el tamaño de la población. Fm=n/N

Inferencia estadística: cualquier afirmación que se realiza sobre una determinada población, basándose en los datos obtenidos con una muestra, pudiéndose obtener a partir del cálculo de probabilidad, una determinada medida de la incertidumbre que se genera.

Muestreo: procedimiento mediante el cual se obtienen una o más muestras de una población dada.

Unidad de muestreo: cada unidad experimental, o grupo de unidades experimentales, que son tomadas para obtener una muestra.

Diseño muestral: plan de muestreo específico donde se establecen cuáles serán los procedimientos a seguir para tomar una o más muestras.

Muestreo probabilístico: cuando las unidades experimentales que componen la muestra son tomadas al azar, pudiéndose calcular a priori, la probabilidad que tienen cada muestra y cada unidad experimental de ser la obtenida. Es un muestreo objetivo porque la inclusión de cada una de las unidades experimentales no depende del sujeto que se encarga de tomar la muestra.

Muestreo intencional: cuando las unidades experimentales que componen la muestra son obtenidas siguiendo una regla o norma preestablecida. Es un muestreo subjetivo y carece de una base teórica satisfactoria. La representatividad de la muestra depende de la intención del sujeto que toma la muestra, y la composición de ésta puede estar influenciada por sus preferencias o tendencias.

Muestreo sin norma: cuando, por razones de comodidad, costo o cualquier otra circunstancia, la obtención de las unidades experimentales que componen la muestra se realiza sin una norma, o regla o criterio definido. Se puede utilizar cuando hay elementos de juicio suficientes como para suponer que la población es homogénea.

Muestreo simple al azar (sin reemplazo): consiste en obtener al azar, una muestra de n elementos, de entre los N que constituyen el universo. Las unidades son tomadas al azar, cualquiera sea la posición que ocupen en el universo.

Cantidad de muestras favorables =     (N-1/n-1) / (Nn) = n/N

Cantidad de muestras posibles

Muestreo estratificado al azar: método de muestreo para cuando se presentan probaciones heterogéneas. Consiste en particionar al universo en estratos dentro de los cuales si la variable debe presentar homogeneidad. La asignación del tamaño de la muestra a cada uno de los distintos estratos se llama afijación y se puede realizar:

1.     Afijación igual o uniforme: el tamaño de la muestra que le corresponde a cada estrato es igual para todos. Cociente entre tamaño de la muestra n y la cantidad de estratos h.

2.     Afijación proporcional: tamaño de la muestra que le correspmde a cada estrato es proporcional al tamaño del estrato. Se calcula haciendo el producto entre la fracción de muestreo y el tamaño de cada estrato.

3.     Afijación óptima: el tamaño de la muestra para cada estrato es proporcional al tamaño del estrato y al desvío estándar.

Muestreo por conglomerados polietápico: consiste en agrupar los elementos que conforman el universo en conglomerados, de modo tal que entre ellos haya la suficiente homogeneidad, como para representar a la población.

Muestreo sistemático al azar: consiste en ordenar a las N unidades experimentales que conforman el universo, de acuerdo a como se fueron presentando y obtener la muestra eligiendo, un elemento cada c unidades. Si el universo es finito c es el cociente entre el tamaño del universo y el tamaño de la muestra. Si el universo es infinito, c se obtiene arbitrariamente.

Parámetro estadístico: a toda medida que resume información calculada con las variables poblacionales. Si el universo es finito. q parámetro indefinido - m media - s² varianza – Â totalidad de elementos - p proporción.

m = Sx / N                          s² = Sx² / N - m²                                      p = Â/N

Parámetro estadístico: a todo parámetro matemático de una función de probabilidad o de densidad de probabilidad, que brinda información acerca de una población. Si el universo es finito grande o infinito.

Estadígrafo: toda función escalar generada con variables muestrales.

Estimador de un parámetro q: todo estadígrafo que proporcione información acerca de icho parámetro.

Estadígrafo de transformación: aquel estadígrafo que permite transformar al estimador en una variable que tenga una determinada distribución de probabilidad.

Estimación puntual del parámetro q: método de estimación que consiste en calcular el valor matemático único que asume el estimador, luego de tomar la muestra y realizar las mediciones correspondientes. Este valor se llama punto de estimación.

Estimación por intervalo del parámetro q: método de estimación que consiste en calcular, con los datos de la muestra, los límites de un conjunto cerrado y acotado de números reales. Este conjunto se llama intervalo de estimación.

Distribución de probabilidad del estimador q: función  de densidad de probabilidad, o función de probabilidad, que describe su comportamiento probabilístico.

Sesgo: diferencia entre la esperanza matemática del estimador y el parámetro a estimar.

Error medio cuadrático: esperanza matemática del cuadrado de la diferencia entre el estimado y el parámetro

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Propiedades de los buenos estimadores

• Insesgamiento: el estimador es un estimador insesgado del parámetro q sí, y sólo si la esperanza matemática del estimador es igual al parámetro q. El estimador es un estimador asintóticamente insesgado del parámetro q, sí y sólo si el límite de la esperanza matemática del estimador, cuando el tamaño de la muestra n tiende a infinito, es igual al parámetro q.

• Eficiencia: el estimador es un estimador eficiente del parámetro q sí y sólo si se cumple que el estimador tiene la menor varianza que puede tener un estimador del parámetro q.

• Consistencia: el estimador es un estimador consistente del parámetro q, sí y sólo si se cumple que el estimador converge en probabilidad al parámetro, cuando el tamaño de la muestra n tiende a infinito.

• Suficiencia: el estimador es un estimador suficiente del parámetro q, sí y sólo si se cumple que el estimador utiliza toda la información relevante acerca del parámetro q, contenida en la muestra aleatoria.

Grados de libertad: cantidad de variables libres, o estadísticamente independientes, que intervienen en un problema o en una distribución asociada a un problema.

û  La cantidad de grados de libertad que tiene la suma del cuadrado de las desviaciones con respecto a la media aritmética muestral es igual al tamaño de la muestra menos uno.

û  Si en un estadígrafo intervienen k estimadores de otros tantos parámetros, los grados de libertad correspondientes a la suma del cuadrado de las desviaciones con respecto a ducho estadígrafo, es igual al tamaño de la muestra menos la cantidad de cantidad de parámetros a estimar.

Media muestral: estimador de la media poblacional que se genera haciendo el cociente entre la suma de las variables muestrales y el tamaño de la muestra.

Fórmula:

û  La esperanza matemática de la media muestral siempre es la media poblacional. E(Ẋ) = mx. La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.

û  La varianza de la media muestral de universos infinitos es V(Ẋ) = s²x / n. Si el universo es infinito, la media muestral es un estimador consistente de la media poblacional.

û  La varianza de la media muestral de universos finitos es V(Ẋ) = (s²x / n) . (N-n / N-1). Si el universo es finito, la media muestral es un estimador consistente de la media poblacional.

Varianza muestral: estimador de la varianza poblacional que se genera haciendo el cociente entre la suma del cuadrado de las desviaciones con respecto a la media aritmética muestral y los correspondientes grados de libertad.

Fórmula:

û  La esperanza matemática de la varianza muestral en universos infinitos, siempre es la varianza poblacional. E(S²_x) = s²x. La varianza muestral es un estimador insesgado de la varianza poblacional.

û  La varianza de la varianza muestral de universos infinitos es V(S²_x) = s²x / 2n.

Proporción muestral: estimador de la proporción poblacional que se genera mediante el cociente entre la cantidad de elementos que si poseen un determinado atributo en la muestra y el tamaño de la muestra.

Fórmula:

û  La esperanza matemática de la proporción muestral siempre es la proporción poblacional. E(ṗ) = p. La proporción muestral es un estimador insesgado de la proporción poblacional.

û  La varianza de la proporción muestral de universos infinitos es V(ṗ) = p.(1-p) / n. Si el universo es infinito, la proporción muestral es un estimador consistente de la proporción poblacional.

û  La varianza de la proporción muestral de universos finitos es V(ṗ) = [p.(1-p) / n]. (N-n / N-1). Si el universo es infinito, la proporción muestral es un estimador consistente de la proporción poblacional.

Distribución de la media muestral de poblaciones normales: el estimador media aritmética muestral, por estar originado n una suma de variables normales, es una combinación lineal de variables aleatorias normales, y tiene distribución normal.

Fórmula:

La varianza estandarizada o estadígrafo de transformación de la media aritmética muestral para poblaciones finitas, fórmula:                                                                                   infinitas, fórmula:

Distribución de la varianza muestral.

Estadígrafo de transformación de la varianza muestral, fórmula:

Distribución de la media aritmética muestral cuando la varianza poblacional es desconocida.

Poblaciones finitas, fórmula:                                                    infinitas, fórmula:

Distribución de la proporción muestral.

Poblaciones finitas, fórmula:                                                    infinitas, fórmula:

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