Capitulo 6
1.
Variable aleatoria
discretas
û
Experimento Aleatorio Dicotómico
Se llama así, a aquel
experimento aleatorio cuyo espacio muestra l tiene solo dos resultados posibles
mutuamente excluyentes.
Sea un experimento
aleatorio E que consiste en tomar al azar una unidad experimental, y verificar
si tiene o no un determinado atributo A. Los sucesos aleatorios
correspondientes son: presenta o no presenta.
Fórmula probabilidad:
û
Permutaciones Pn
Dado un conjunto
formado por n elementos, se llama permutación de n a cualquier arreglo ordenado de los n elementos.
La cantidad de
permutaciones que se puedan forman ordenando los n elementos de distinta manera, se calcula con un número llamado
factorial de n. Símbolo: n!
û
Espacio Continuo
Se llama así, a un
recinto de infinitos puntos donde en cualquiera ellos es posible encontrar un
elemento.
a. Distribución de Bernoulli
La cantidad de
elementos con un determinado atributo que se presenta en una observación de un
experimento aleatorio dicotómico, es una variable aleatoria discreta, ȓ, cuya función de probabilidad es llamada
Distribución de Bernoulli.
Fórmula condición
de cierre:
Fórmula Esperanza
Matemática de la variable ȓ
Fórmula Varianza:
b. Repetición de un experimento aleatorio dicotómico
Cada vez que el
experimento aleatorio dicotómico se repite, los elementos que tengan el
atributo que se está considerando pueden presentarse, o no, es aleatorio,
entonces, en las n repeticiones,
pueden aparecer elementos que tengan el atributo o que no lo tengan, o que
todos tengan.
c. Distribución Hipergeométrica
Modelo probabilístico
para una variable aleatoria discreta, corresponde a aquellos experimentos
aleatorios donde se realizan sucesivas observaciones de unidades
experimentales, sin reponerlas. Las observaciones no son independientes.
La cantidad de
elementos con un determinado atributo que se presentan en n observaciones
dependientes de un experimento aleatorio dicotómico, es una variable aleatoria
discreta, ȓ cuya función de
probabilidad es (fórmula) llamada Distribución Hipergeométrica.
Fórmula:
Condición de Cierre:
Parámetros Matemáticos:
Parámetros Estadísticos:
d. Distribución Binomial
Las n observaciones son independientes. La
probabilidad de que se presente un elemento con un determinado atributo
permanece constante a través de las n pruebas.
La probabilidad conjunta es igual al producto de las probabilidades marginales.
La cantidad de elementos
con un determinado atributo que se presentan en n observaciones independientes
de un experimento aleatorio dicotómico, es una variable aleatoria discreta, ȓ cuya función de probabilidad es (fórmula) llamada Distribución Binomial.
Fórmula:
Condición de Cierre:
Parámetros Matemáticos:
Parámetros Estadísticos:
e. Distribución Geométrica
La cantidad de
observaciones independientes de un experimento aleatorio dicotómico necesarias
para encontrar 1 elementos con un determinado atributo, es una variable
aleatoria discreta ñ cuya función de
probabilidad es (fórmula) llamada Distribución Geométrica.
Fórmula:
f. Distribución Pascal
Modelo donde la
variable aleatoria, también es la cantidad de repeticiones del experimento,
pero que son necesarias para encontrar una cantidad fija, mayor a uno, de
elementos que tengan un determinado atributo.
La cantidad de
observaciones independientes de un experimento aleatorio dicotómico necesarias
para encontrar r elementos con un
determinado atributo, es una variable aleatoria discreta ñ cuya función de probabilidad es (fórmula) llamada Distribución
Pascal.
Fórmula:
Condición de Cierre:
Parámetros Matemáticos:
Parámetros Estadísticos:
g. Relación entre la distribución de Pascal y la Binomial
La probabilidad puntual de la distribución pascal se
puede calcular utilizando la distribución binomial, utilizando algunas
relaciones:
1.
2.
h. Distribución Poisson
Dado un espacio
continuo de extensión t, en dicho
continuo ocurren ciertos acontecimientos en forma aleatoria formando una
secuencia o flujo que satisface las siguientes condiciones:
1.
Sean
(t1:t2) y (t3;t4) dos intervalos
cualquiera de continuo, no superpuestos y estadísticamente independientes, o
sea que la probabilidad de que se produzcan acontecimientos en uno de los
intervalos, no depende de los que ocurrieron en el otro.
2.
La
probabilidad de que un acontecimiento se produzca en un intervalo infinitesimal
(t0; t0 + ▲t) es un infinitésimo de orden ▲t
3.
La
probabilidad de que se produzcan dos o más acontecimientos en el intervalo
infinitesimal (t0; t0 + ▲t) es un infinitésimo de orden
superior ▲t
4.
Los
acontecimientos ocurren con una tasa media o frecuencia media o promedio de
presentación en el continuo conocido.
La cantidad de elementos
que se presentan al azar en un continuo de extensión t, y con un promedio de
presentación en el continuo igual a λ,
es una variable aleatoria discreta ȓ
cuya función de probabilidad es (fórmula)
llamada Distribución de Poisson.
Fórmula:
Condición de Cierre:
Parámetros Matemáticos:
λ: cantidad de elementos que se espera, en promedio, en el
continuo de extensión t.
Parámetros Estadísticos:
i. Aproximación de Hipergeométrica a binomial
Se hace cuando N es una cantidad grande en relación a
la cantidad de observaciones n, aun
cuando sean sin reposición, los valores de probabilidad puntual de la
distribución hipergeométrica se puede calcular aproximadamente con la
distribución binomial haciendo:
Fórmula:
j. Aproximación de Binomial a Poisson
Cuando hay que
calcular un valor de probabilidad para una variable con distribución binomial,
puede ocurrir que la cantidad de observaciones n, sea grande y la probabilidad
de encontrar un elemento con el atributo p, sea pequeña. Si n es muy grande el
número combinatorio (nr) es incalculable.
Fórmula:
k. Distribucion binomial negativa
La cantidad de elementos
que no tienen un determinado atributo, que se presentan antes de encontrar una
cantidad fija r elementos que sí
tienen el atributo, al hacer n observaciones independientes, de un experimento
aleatorio dicotómico, es una variable aleatoria discreta ṡ cuya función de probabilidad es (fórmula) llamada Distribución
Binomial Negativa.
Fórmula:
Condición de Cierre:
Parámetros Matemáticos:
Parámetros Estadísticos:
2.
Variable aleatorias
continuas
a. Distribución Uniforme
Una variable continua
X definida en el intervalo de números reales [a;b] tiene distribución uniforme
si su función de densidad de probabilidad es:
Fórmula:
-
Parámetro matemático:
-
Cumple con condición
de no negatividad y con la condición de cierre
-
Función de
distribución
-
Función percentilar
-
Esperanza matemática
-
Varianza
-
Desvío estándar
-
Mediana
-
No hay modo, dado
quela función de densidad de probabilidad no tiene máximo relativo.
b. Distribución Exponencial
Una variable aleatoria
continua X definida para todo número real positivo, tiene distribución
exponencial si su función de densidad de probabilidad es:
Fórmula:
-
Parámetro matemático:
-
Cumple con condición
de no negatividad y con la condición de cierre
-
Función de
distribución
-
Función percentilar
-
Esperanza matemática
-
Varianza
-
Desvío estándar
c. Distribución Normal
Una variable aleatoria
continua X definida para todos los números reales, tiene distribución normal,
si su función de densidad de probabilidad es:
Fórmula:
-
Parámetro matemático:
o
o
Alcanza un máximo
relativo cuando:
o
Tiene dos puntos de
inflexión cuando:
o
Es simétrica con
respecto al punto de máxima ordenada:
o
Es asíntota al eje de
abscisas
-
Cumple con condición
de no negatividad y con la condición de cierre
-
Función de
distribución
-
Esperanza matemática
-
Varianza
-
Desvío estándar
-
Mediana
-
Modo, alcanza un
máximo relativo.
-
Medidas de forma
d. Variable normal estandarizada
El valor de la función
de distribución de una variable aleatoria con distribución normal, para el
valor x, es igual al valor de la
función de distribución de la variable estandarizada Z con distribución normal para el correspondiente valor.
Fórmula:
e. Cálculo de probabilidad
Para calcular la
probabilidad de que el valor de una variable aleatoria distribuida normalmente
pertenezca a un determinado intervalo, primero hay que estandarizar los valores
de la variable original X y con el
valor de Z, obtener el valor de
probabilidad en la tabla de Z.
f. Cálculo de fractiles o percentiles
Para calcular el
percenti de orden k de una variable aleatoria continua X, distribuida normalmente, se utiliza la tabla de fractiles de la
variable estandarizada Z, ubicando
el orden del percentil, expresado en probabilidad, en la columna F(Z), y localizar el valor de Zk
Fórmula:
g. Transformación afin de variables aleatorias normales
Toda transformación
afín de una variable aleatoria con distribución normal, se distribuye
normalmente.
Fórmula:
h. Suma de variables aleatorias normales independientes
Toda combinación
lineal de variables aleatorias normales independientes, tiene distribución
normal.
Fórmula:
La combinación lineal,
es una suma de producto de variables por constantes no nulas.
-
La
esperanza matemática de la suma de variables aleatorias independientes es igual
a la suma de las esperanzas matemáticas individuales de cada una de las
variables.
-
La
varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma
de las varianzas individuales de cada una de las variables.
-
La
suma de variables aleatorias normales independientes, se distribuye
normalmente.
-
Caso 1: todas las variables están multiplicadas por una
constante no nula y cada una de las variables tiene distinta esperanza
matemática y distinta varianza → la suma de n variables normales independientes, es otra variable aleatoria
distribuida normalmente con E igual a la suma del producto de cada constante
multiplicada por su correspondiente promedio y varianza igual a la suma del
producto del cuadrado de cada constante multiplicada por su correspondiente
varianza.
Fórmula:
-
Caso 2: todas las constantes son iguales a uno, y todas
las variables tienen distinto promedio y distinta varianza → la suma de n variables normales independientes, es
otra variable aleatoria distribuida normalmente con E igual a la suma de los
promedios y varianza igual a la suma de las varianzas.
Fórmula:
-
Caso 3: todas las constantes son iguales a uno y todas
las variables tienen el mismo promedio y la misma varianza → la suma de n variables normales independientes, es
otra variable aleatoria distribuida normalmente con E igual a n veces el
promedio único y varianza igual a n veces la varianza única.
Fórmula:
-
Casos Generales: diferencia entre variables tiene
distribución normal → la E de la diferencia de dos variables es igual a la
diferencia de las esperanzad matemáticas de cada una de las variables. La
varianza de la diferencia entre dos variables es igual a la suma de las
varianzas de cada una de las variables.
Fórmula:
i. Aproximación de la distribución binomial a la normal
Si la cantidad de
observaciones es suficientemente grande y la probabilidad de encontrar un
elemento con un determinado atributo esta cerca de 0,50, los valores de
probabilidad de distribución binomial, se pueden calcular con la distribución
normal, haciendo:
Fórmula:
-
Variable estandarizada
j. Aproximación de la distribución de poisson a la normal
Si el valor de λ es muy grande, los valores de
probabilidad de la distribución de poisson, se puede calcular, con la normal.
Fórmula:
-
Variable estandarizada
k. Teorema central del límite
Sean n variables
aleatorias independientes, cada una de ellas con esperanza matemática finita y
varianza finita X1;X2:….;Xn entonces la
variable suma estandarizada
bajo condiciones muy
generales, se distribuye asintóticamente normal estandarizada, cuando el número
de variables que se suman crece indefinidamente, cualesquiera sean las
distribuciones de las variables aleatorias.
Si todos los promedios
son iguales y todas las varianzas son iguales, entonces la variable suma
estandarizada es
y también tiene
distribución asintóticamente normal estandarizada cuando la cantidad de
variables que se suman tiende a infinito.
Cuando hay que
calcular una probabilidad referida a la suma de variables independientes y no
se específica cual es la distribución, se puede utilizar la distribución normal
siempre y cuando n sea
suficientemente grande. N>30
Al capitulo 7
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