Resumen Capitulo 5 - Estadistica Capriglioni - FCE UBA

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Capitulo 5

Variable aleatoria

Se llama variable aleatoria a una función, o regla bien definida, que asigna, a cada elemento del espacio muestral, un vector perteneciente a un espacio vectorial.

Es unidimensional cuando, a cada elemento del espacio muestral, se asigna un escalar perteneciente al conjunto de números reales.

Se llama recorrido de una variable aleatoria unidimensional al conjunto formado por los números reales que se pueden asignar a dicha variable.

Fórmula:

La variable aleatoria se puede concebir de dos maneras:

·         Se realiza un E que tiene un resultado u ϵ U, y luego se le asigna a este resultado el valor numérico x(u)ϵR.

·         Se realiza un E que tiene un resultado u ϵ U.

û  Si la observación consiste en realizar mediciones cuantitativas, el resultado u, es un número real.

û  Si la unidad de medida correspondiente a dicho resultado coincide con la unidad de medida de la variable aleatoria definida, u es igual a x(u) y U es igual a R(X).

û  Si la unidad de medida de la magnitud de la variable no coincide con la medición realizada son dos números reales distintos.

Variable Aleatoria Discreta Unidimensional

Se llama así a aquella variable aleatoria cuyo recorrido es finito o infinito numerable.

a)     Función de Probabilidad Puntual

Se llama función de probabilidad puntual de una variable aleatoria discreta a una función, o modelo matemático, que asigna a cada valor del recorrido de dicha variable, un número real no negativo, llamado probabilidad puntual, de modo tal que la suma de todos estos valores, a través del recorrido de la variable, debe ser igual a la unidad.

Debe cumplir con dos condiciones:

1.     Condición de no negatividad: el número real asignado por la función de probabilidad puntual, al i-ésimo valor de la variable discreta, debe ser no negativo.

2.     Condición de cierre: la suma de todos los números reales asignados por la función de probabilidad puntual, a cada valor de la variable discreta, debe ser igual a uno.

A cada número p(x_i) se lo denomina probabilidad puntual porque es la probabilidad de que la variable X asuma puntualmente el valor x_i.      p(x_i) = P(X=x_i)

El conjunto de pares ordenados, [x_i;p(x_i)], para todo i, forma una distribución de probabilidad puntual.

Se grafica utilizando las coordenadas cartesianas ortogonales, donde los valores de la variable se ubican en el eje de abscisas y los valores de la probabilidad puntual, en el eje de las ordenadas. El punto, [x_i;p(x_i)] se une al valor x mediante un bastón.

b)     Función de Distribución

Se llama función de distribución de una variable aleatoria discreta, a una función que asigna a cada valor del recorrido, un número real que representa la suma de todas las probabilidades puntuales, desde el primero hasta el valor en cuestión.

Cada número F(x_k) se denomina probabilidad acumulada hasta el valor x_k y representa la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a x_k.        F(x_k)=P(X≤x_k)

El conjunto de pares ordenados [x_i;F(x_i)], para todo i, se llama función de distribución de probabilidad. Es la distribución acumulada hasta un valor de la variable.

Se grafica utilizando las coordenadas cartesianas ortogonales, donde los valores de la variable se ubican en el eje de abscisas y los valores de la probabilidad acumulada, en el eje de las ordenadas. El punto, [x_i;F(x_i)] se une con el punto [x_(i+1) ; F(x_(i+1))] mediante un segmento horizontal → Gráfico escalonado.

c)     Función de Distribución Complementaria

Se llama función de distribución complementaria de una variable aleatoria discreta, a una función que asigna a cada valor del recorrido, un número real que representa la suma de todas las probabilidades puntuales, desde el valor en cuestión hasta el último.

Cada número G(x_k) se denomina probabilidad acumulada desde el valor x_k, y representa la probabilidad de que la variable tome un valor mayor o igual al número x_k.       G(x_k)=P(X≥x_k)

El conjunto de pares ordenados [x_i;G(x_i)], para todo i, se llama función de distribución complementaria de probabilidad. Es la distribución acumulada desde un valor de la variable.

d)     Relación entre las funciones de distribución

La suma del valor de la Función de Distribución correspondiente a un valor de la variable y el valor de la Función de Distribución Complementaria correspondiente al siguiente valor de la variable siempre es igual a uno.

e)     Percentiles de Variables Aleatorias Discretas

Se llama percentil de orden k (0 £ k £ 100  ^ kϵR) de una variable aleatoria discreta a un valor x_k tal que, hasta el valor de variable inmediato anterior, se acumule, a lo sumo, una probabilidad igual a k/100 y, desde el valor de variable inmediato posterior se acumule, a lo sumo, una probabilidad igual a (1-k/100).

Fórmula:

Variable Aleatoria Continua Unidimensional

Una variable con recorrido infinito no numerable es una Variable Aleatoria Continua en un determinado intervalo de números reales, si existe una función real que en dicho intervalo, cumpla con las siguientes condiciones:

a) sea no negativa                             b) cubra una superficie igual a uno

Fórmula:

a)     Función de Densidad de Probabilidad

Se llama Función de Densidad de Probabilidad de una variable aleatoria continua a la función real que cumpla con la condición de no negatividad y con la condición de cierre.

Una Función de Densidad de Probabilidad está definida únicamente en el recorrido de la variable aleatoria, intervalo [a;b], fuera de ese intervalo la función es nula.

g(x) ³0 en a £ X £ b            ∫ (a; b) g(x) dx=1

Entonces la función de densidad de probabilidad f(x) se define f(x) = g(x) en a £ X £ b y f(x)=0 en otro caso.

Con la Función de Densidad de Probabilidad es posible calcular la probabilidad de ocurrencia de los valores de una variable aleatoria continua, teniendo en cuenta:

1.     Dados dos valores de la variable continua X, x₁ < x₂  que pertenezcan al intervalo [a;b] la probabilidad de encontrar un valor entre ellos está dada por la superficie que encierra la función entre dichos puntos. P(x₁ < X < x₂ ) = ∫ (x₁; x₂) f(x) dx        

2.     La probabilidad de que la variable X tome un valor individual x₃ es nula. En un punto no hay superficie.  P(X = x₃) = ∫ (x₃; x₃) f(x) dx=0

b)     Función de Distribución

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x) definida en el intervalo de números reales [a;b]. Se llama Función de Distribución, F(x) a un modelo matemático o función no decreciente, que asigna a cada valor de la variable aleatoria un valor de probabilidad acumulada desde el límite inferior del recorrido, hasta ese valor.

Fórmula:

Conociendo la función de distribución no es necesario integral, cuando quiero calcular la probabilidad de encontrar un valor de la variable aleatoria continua dentro de un intervalo, se calcula la diferencia entre el valor de la función de distribución correspondiente al límite superior y el valor de la función de distribución correspondiente al límite inferior.

X: variable continua definida en [a;b] Ì R

F(X=x): la función de distribución de la variable continua X

Dos valores de la variable X, x₁ < x₂ que pertenezcan al intervalo [a;b]

La probabilidad de encontrar un valor menor o igual a x₁ es P(X£x₁) = F(X=x₁)

La probabilidad de encontrar un valor entre x₁ y x₂ es P(x₁ £X£ x₂) = F(X=x₂) - F(X=x₁)

La probabilidad de encontrar un valor mayor o igual a x₂ es P(X³x₂) = F(X=b) - F(X=x₂) = 1- F(X=x₂)

c)     Función de Distribución Complementaria

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f(x) definida en el intervalo de números reales [a;b]. Se llama Función de Distribución Complementaria, G(x) a un modelo matemático o función no creciente, que asigna a cada valor de la variable aleatoria un valor de probabilidad acumulada desde un valor de la variable hasta el límite superior del recorrido.

X: variable continua definida en [a;b] Ì R

f(x): la función de densidad de probabilidad de la variable x

Entonces la función de distribución complementaria es P(X³x) = G(X=x) = ∫ (x;b) f(x) dx

X: variable continua definida en [a;b] Ì R

G(X=x): la función de distribución complementaria de la variable continua X

Dos valores de la variable X, x₁ < x₂ que pertenezcan al intervalo [a;b]

La probabilidad de encontrar un valor mayor o igual a x₁ es P(X³x₁) = G(X=x₁)

La probabilidad de encontrar un valor entre x₁ y x₂ es P(x₁ £X£ x₂) = G(X=x₁) - F(X=x₂)

La probabilidad de encontrar un valor menor o igual a x₂ es P(X£x₂)=G(X=a) - G(X=x₂) = 1- G(X=x₂)

d)     Relación entre las funciones de distribución

La suma del valor de la Función de Distribución correspondiente a un valor de la variable y el valor de la Función de Distribución Complementaria correspondiente a dicho valor de la variable, siempre es igual a uno. F(x) + G(x) = 1 → P(X£x) + P(X³x) = 1

e)     Percentiles de Variables Aleatorias Continuas

Se llama percentil de orden k (0 £ k £ 100  ^ kϵR) de una variable aleatoria continua al valor de la variable x_k donde se acumule, una probabilidad igual a k/100.

X: variable aleatoria continua                                         f(x): función de densidad de probabilidad

F(x): función de distribución                                           x_k : percentil de orden k

Si F(x_p) = k/100 entonces x_k = x_p

Momentos teóricos: MTx = E[g(x)]

Se llama momento de una variable aleatoria al valor esperado o esperanza matemática de una función de la variable.

û  Se llama momento o esperanza matemática de una función generada con una variable aleatoria discreta, a la suma del producto de cada valor numérico de la función por el correspondiente valor de probabilidad puntual, a través del recorrido de la variable.

                X: una variable aleatoria discreta      p(x): función de probabilidad

                g(x): función real generada por la variable aleatoria discreta

                E[g(x)]: esperanza matemática de la función g(x)

                Entonces E[g(x)] = å g(x_i) x p(x_i)

û  Se llama esperanza matemática de una función generada con una variable aleatoria continua, a la integral a través del recorrido de la variable, del producto de la función dada por la función de densidad de probabilidad de la variable.

                X: variable continua definida en [a;b] Í R    f(x): función de densidad de probabilidad

                g(x): función real generada por la variable aleatoria continua x

                E[g(x)]: esperanza matemática de la función g(x)

                Entonces E[g(x)] = ∫ (a;b) g(x) x f(x) dx

Momentos Particulares

1.     Momentos Absolutos

Se llama momento absoluto de orden k a la esperanza matemática de la potencia k-ésima de la variable aleatoria.

X: variable aleatoria                           k: orden del momento                              μ_k= E(X^k)

Momento absoluto de orden 1 es el promedio o media aritmética esperada de la variable X.

μ₁= E(X¹) → μ_x= E(X)

-       Cálculo de los momentos absolutos de las variables discretas

X: variable aleatoria discreta           p(x): función de probabilidad                          k: orden del momento. KϵN                                                                           μ_k = E(x) = å X_i x p(x_i)

-       Cálculo de los momentos absolutos de las variables continua

X: variable continua definida en [a;b] Í R    f(x): función de densidad de probabilidad

k: orden del momento. KϵN                             μ_k = E(x) = ∫ (a;b) X x f(x) dx

2.     Momentos Centrados

Se llama momento centrado teórico de orden k a la esperanza matemática de la potencia k-ésima de la desviación e la variable aleatoria con respecto a la media aritmética esperada.

X: variable aleatoria           k: orden del momento       μ_x= media aritmética esperada de la variable X

μC_k : momento centrado de orden k  →  μC_k = E(X- μ_x)^k

Momento centrado de orden 2 es la varianza esperada de la variable X.   →    μC₂= E(X-μ_x)²

-       Cálculo de los momentos centrados de las variables discretas

X: variable aleatoria discreta           p(x): función de probabilidad                          μ_x: valor esperado

k: orden del momento. KϵN                                                            μC_k = E(x - μ_x)^k = å (X_i - μ_x)^k x p(x)

Varianza discreta:             σ²_x = E(x - μ_x)² = å (X_i - μ_x)² x p(x)

-       Cálculo de los momentos centrados de las variables continua

X: variable continua definida en [a;b] Í R    f(x): función de densidad de probabilidad

μ_x: valor esperado              k: orden del momento. KϵN       μC_k = E(x - μ_x)^k = ∫ (a;b) (X-μ_x)^k x f(x) dx

Varianza continua:            σ²_x = E(x - μ_x)² = ∫ (a;b) (X-μ_x)² x f(x) dx

3.     Función generatriz de momentos

Sea X una variable aleatoria y t una variable real, no aleatoria, se llama Función Generatriz de Momentos de la variable X, a la esperanza matemática de la potencia X.t del número e.

Fórmulas de trabajo

a)     Fórmula para varianza discreta                              b)Fórmula para varianza continua

σ²_x = å X_i ² x p(x_i) - μ_x²                                                       σ²_x = ∫ (a;b) X² x f(x) dx - μ_x²

Desvío Estándar

Se llama Desvío Estándar de una variable aleatoria a la raíz cuadrada positiva de la varianza esperada.              σ_x = √V(X)

-       Desvío estándar de una variable aleatoria discreta

σ_x = √ å (X_i - μ_x)² x p(x)

-       Desvío estándar de una variable aleatoria continua

σ_x = √ ∫ (a;b) (X-μ_x)² x f(x) dx

Coeficiente de Variación

Se llama Coeficiente de Variación de una variable aleatoria discreta, al cociente entre el desvío estándar y el promedio esperado. ςVx = σ_x / μ_x

Mediana

-       Mediana de una variable aleatoria discreta

Se llama mediana de una variable aleatoria discreta a un valor tal que, hasta el valor de variable inmediato anterior, se acumule, a lo sumo, una probabilidad de 0.50 y desde el valor de variable inmediato posterior se acumule, a lo sumo, una probabilidad de 0.50

F(x_(m-1)) < 0.5 y G(x_(m+1)) < 0.5           Me(x) = [x_m + x_(m+1)] / 2

-       Mediana de una variable aleatoria continua

Se llama mediana de una variable aleatoria continua al valor de la variable hasta donde se acumula una probabilidad exactamente igual a 0.50

P(X£x_m)= F(x₌ x_m) = ∫ (a;xm) f(x) dx =0.50     Me(x) = x_m

Modo

-       Modo de una variable aleatoria discreta

Se llama modo, moda o valor modal de una variable aleatoria discreta a valor de la variable más probable, o de máxima probabilidad, dentro de un entorno de dicho valor.

Mayor p(x) → Mo(X)=Xo

-       Modo de una variable aleatoria continua

Se llama modo, moda o valor modal de una variable aleatoria continua a valor de la variable con el que la función de densidad de probabilidad alcanza un máximo relativo.

Coeficiente de Asimetría: As=μ_C³ / σ³

·         Una distribución de probabilidad de una variable discreta es simétrica, si las probabilidades puntuales correspondientes a valores de la variable que equidistan de la Media Aritmética Esperada son iguales.

·         Una distribución de probabilidad de una variable continua es simétrica, si las imágenes de la función de densidad de probabilidad correspondientes a valores de la variable que equidisten de la Media Aritmética Esperada, son iguales.

-       As=0 → Simetría            - As>0 → Asimetría a la derecha           - As<0 → Asimetría  a la izquierda

Coeficiente de Curtosis: K= [μ_C⁴ / σ⁴ ] – 3

-       K=0 → Mesocúrtica                 K>0 → Leptocúrtica                K<0 → Platicúrtica

Propiedades del promedio y de la varianza

1.     El promedio esperado de una constante, es la constante misma y la varianza esperada de una constante es nula.

2.     El promedio esperado de la suma de una constante más una variable, es igual a la constante más el promedio esperado de la variable y la varianza de la suma de una constante más una variable es igual a la varianza más la variable.

3.     La esperanza matemática o promedio del producto de una constante por una variable, es igual al producto entre la constante y la esperanza matemática o promedio de la variable, y la varianza del producto de una constante por una variable es igual al producto entre el cuadrado de la constante y la varianza de la variable.

4.     Transformación afin: Y=a+bx → E(Y)=a+bE(X) y V(Y)=b²V(X)

Teorema de Tchebycheff

Sean X una variable aleatoria, discreta o continua, con Esperanza Matemática finita y Varianza finita, y sea k un número real positivo mayor a uno. Cualquiera sea la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, siempre se cumple que:

La probabilidad de que, el módulo de la desviación entre un valor de la variable y el promedio esperado, sea mayor o igual a k veces el desvío estándar (k>1), es a lo sumo 1/k²

Fórmula:

Variable Estandarizada

Se llama variable estandarizada de una variable aleatoria, discreta o continua, a la variable que se genera haciendo el cociente entre, la diferencia entre la variable original y su esperanza matemática y la raíz cuadrada positiva de la varianza.

Fórmula:

Toda variable aleatoria estandarizada tiene Esperanza Matemática o Promedio Aritmético Esperado igual a cero y Varianza Esperada igual a uno.

Fórmula:

Variables Aleatorias Multidimensionales

Una variable aleatoria es multidimensional cuando, a cada elemento del espacio muestral, se asigna un vector perteneciente a un espacio vectorial Rⁿ (n≥2).

Variables Aleatorias Bidimensionales

Una variable aleatoria es bidimensional si a cada elemento del espacio muestral, le corresponde un vector de dos dimensiones.

a.     Una variable aleatoria bidimensional es discreta, si el recorrido de cada una de las variables es finito o infinito numerable.

b.     Una variable aleatoria bidimensional es continua, si el recorrido de cada una de las variables es infinito no numerable.

c.     Una variable aleatoria bidimensional es mixta, si el recorrido de una de las variables e infinito no numerable, y el recorrido de la otra es finito o infinito numerable.

Funciones Conjuntas

a.     Función de Probabilidad Puntual Conjunta:

Se llama Función de Probabilidad Puntual Conjunta de dos variables aleatorias discretas X₁ y X₂ a un modelo matemático o función p(X₁; X₂), que asigna a cada par de valores (X_1h; X_2k) del recorrido de ambas variables, un número real p(X_1h; X_2k), llamado Probabilidad Conjunta Puntual, de modo tal que se satisfaga las condiciones siguientes:

1.     Condición de no negatividad.

2.     Condición de cierre: la suma de estas probabilidades, a través del recorrido de las dos variables, debe ser igual a la unidad.

b.     Función de Densidad de Probabilidad Conjunta:

Se llama Función de Densidad de Probabilidad Conjunta de dos variables aleatorias continuas X₁ y X₂  definidas en un plano euclidiano R=R(X₁) x R(X₂), a un modelo matemático o función f(X₁ ; X₂ ) que satisfacen las siguientes condiciones:

1.     Condición de no negatividad.

2.     Condición de cierre: la suma de estas probabilidades, a través del recorrido de las dos variables, debe ser igual a la unidad.

Funciones Marginales

a.     Función de Probabilidad Marginal:

Se llama Función de Probabilidad Marginal, de una variable aleatoria discreta X₁ cuando se presenta conjuntamente con otra variable aleatoria discreta X₂ a la función de probabilidad puntual, p(X₁), que le asigna a cada valor de la variable aleatoria X_1, los valores de probabilidad, sin tener en cuenta la variación de la variable X_2. (Idem con X invertidos).

1.     Condición de no negatividad.

2.     Condición de cierre: la suma de estas probabilidades, a través del recorrido de las dos variables, debe ser igual a la unidad.

Fórmula:

b.     Función de Densidad de Probabilidad Marginal:

Se llama Función de Densidad de Probabilidad Marginal de una variable aleatoria continua  X₁ cuando se presenta conjuntamente con otra variable aleatoria continua X₂ a la función de densidad de probabilidad f(X₁) que se obtiene integrando la función de densidad de probabilidad conjunta a través del recorrido de la variable X₂ (Idem con X invertidos).

1.     Condición de no negatividad.

2.     Condición de cierre: la suma de estas probabilidades, a través del recorrido de las dos variables, debe ser igual a la unidad.

Fórmula:

Funciones Condicionales

a.     Función de Probabilidad Condicional:

Se llama Función de Probabilidad Condicional de una variable aleatoria discreta, cuando se presenta conjuntamente con otra variable aleatoria discreta, al cociente entre la función de probabilidad conjunta y la función de probabilidad marginal de la variable condicionante.

Fórmula:

b.     Función de Densidad de Probabilidad Condicional:

Se llama Función de Densidad de Probabilidad Condicional de una variable aleatoria continua, cuando se presenta conjuntamente con otra variable aleatoria continua, al cociente entre la función de densidad de probabilidad conjunta y la función de densidad de probabilidad marginal de la variable condicionante.

Fórmula:

Variables Estandarizadas Independientes

Dos variables aleatorias son independientes en sentido estadístico, cuando los valores que puedan asumir una de ellas no modifican la función de probabilidad, o la función de densidad de probabilidad de la otra.

1.     Si dos variables discretas son estadísticamente independientes, se cumple que la función de probabilidad condicional es igual a la función de probabilidad marginal

Por lo tanto la función de probabilidad conjunta es igual al producto de las funciones de probabilidad marginal

2.     Si dos variables continuas sin estadísticamente independientes, se cumple que la función de densidad de probabilidad condicional es igual a la función de densidad de probabilidad marginal

Por lo tanto la función de probabilidad conjunta es igual al producto de las dos funciones de densidad de probabilidad marginal

Momento conjunto

Se llama momento conjunto de una variable aleatoria bidimensional a la esperanza matemática de una función bivariada generada con las variables aleatorias.

-       Se llama momento conjunto de una variable aleatoria bidimensional discreta a la suma del producto de cada valor numérico de una función bivariada por el correspondiente valor de probabilidad puntual conjunta, a través del recorrido de las variables.

Fórmula:

-       Se llama momento conjunto de una variable aleatoria bidimensional continua, a la integral del producto de la función bivariada por la función de densidad de probabilidad conjunta, a través del recorrido de las variables.

Fórmula:

Suma de Variables

-       Esperanza Matemática de la suma de dos variables aleatorias discretas:

-       Esperanza Matemática de la suma de dos variables aleatorias continuas:

-       Proposición: la esperanza matemática de la suma de dos variables aleatorias, es igual a la suma de los promedios esperados de dichas variables.

Diferencia de Variables

-       Esperanza Matemática de la diferencia de dos variables aleatorias discretas:

-       Esperanza Matemática de la diferencia de dos variables aleatorias continuas:

-       Proposición: la esperanza matemática de la diferencia de dos variables aleatorias, es igual a la diferencia de los promedios esperados de dichas variables.

Producto de Variables

-       Esperanza Matemática del producto de dos variables aleatorias discretas:

-       Esperanza Matemática del producto de dos variables aleatorias continuas:

Covarianza

Se llama covarianza entre dos variables aleatorias que forman una variable aleatoria bidimensional, a la esperanza matemática del producto de las desviaciones de cada una de las variables con respecto a la correspondiente media aritmética esperada.

û  Si una variable crece y la otra variable también crece, o si una variable decrece y la otra también decrece, entonces las variaciones son en el mismo sentido. Las desviaciones con respecto a la media aritmética esperada tienen el mismo signo. Covarianza = +

û  Si una variable crece y la otra variable decrece, o si una variable decrece y la otra crece, entonces las variaciones son en distinto sentido. Las desviaciones con respecto a la media aritmética esperada tiene distinto signo. Covarianza = -

û  La variación de una de ellas no induce a variaciones en la otra. Las variaciones son estadísticamente independientes. Covarianza = 0

-       Cálculo de la covarianza entre dos variables discretas:

-       Cálculo de la covarianza entre dos variables continuas:

-       Proposición: la esperanza matemática del producto de dos variables aleatorias, es igual al producto de los promedios esperados más la covarianza entre dichas variables.

Fórmula:

-       Proposición: si las variables aleatorias son estadísticamente independientes, la covarianza es igual a cero, entonces la esperanza matemática del producto de dos variables aleatorias es igual al producto de los promedios esperados de cada una de ellas.

Fórmula:

Varianza

La varianza de la suma de dos variables aleatorias, es igual a la suma de las varianzas de dichas variables más el duplo de la covarianza entre ellas.

Fórmula:

-       Proposición: si las variables aleatorias son estadísticamente independientes, la covarianza es igual a cero, entonces la varianza de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las varianzas de cada una de ellas.

Fórmula:

La varianza de la diferencia de dos variables aleatorias, es igual a la suma de las varianzas de dichas variables menos el duplo de la covarianza entre ellas.

Fórmula:

-       Proposición: si las variables aleatorias son estadísticamente independientes, la covarianza es igual a cero, entonces la varianza de la diferencia de dos variables aleatorias es igual a la suma de las varianzas de cada una de ellas.

Fórmula:

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