Capitulo 4
Modelos matemáticos:
a. Modelo determinístico: se llama así a aquel modelo
matemático que describe el comportamiento de las variables cuyos valores quedan
inequívocamente determinados a partir de las condiciones en que se llevará a
cabo el experimento que las origina.
b. Modelo estadístico:
se llama así a aquel modelo matemático que describe el comportamiento de las
variables cuyos valores no quedan inequívocamente determinados a partir de las
condiciones en que se llevará a cabo el experimento que las origina.
Experimento aleatorio
o estocástico - E
- Aquel fenómeno
empírico que admite dos o más resultados posibles y no se tienen elementos
de juicio suficientes como para poder predecir con exactitud cuál o cuales
de ellos ocurrirán, aunque se los repita bajo las mismas condiciones.
Espacio muestral – U
- Se llama espacio
muestral correspondiente a un experimento aleatorio, al conjunto de todos
los resultados posibles que puede presentar dicho experimento.
- Según la
cantidad de elementos que contiene el conjunto puede ser:
a. Finito
b. Infinito numerable
c. Infinito no numerable
Suceso aleatorio
- Cualquier
subconjunto del espacio muestral U correspondiente a un experimento
aleatorio E.
- Es un conjunto
de algunos, todos o ninguno de los resultados posibles de un experimento
aleatorio que puede ocurrir o no.
Sucesos especiales
- Teniendo en
cuenta que el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, el
conjunto vacío es un subconjunto del espacio muestral → el conjunto vacío
es un suceso aleatorio. S = Ø
- Teniendo en
cuenta que todo conjunto es subconjunto de sí mismo, el espacio muestral,
es un subconjunto del espacio muestral
→ el espacio muestral es un
suceso aleatorio. S = U
Operaciones con
Sucesos
- Complemento de un suceso: aquel suceso
que ocurre sí, y solo si no se presenta el suceso S.
- Suceso conjunto: aquel suceso
que ocurre sí, y solo sí se presentan conjuntamente dos o más de los
sucesos que forman el espacio muestral. Se lee A y B.
- Suceso unión incluyente: aquel suceso que
ocurre sí, y sólo si ocurre alguno de los sucesos que forman el espacio
muestral. Se lee suceso A o B.
El suceso A o B se
presenta solamente si se presenta el suceso A y no se presenta el suceso B o al
revés o se presentan los dos sucesos simultáneamente.
- Suceso unión excluyente: aquel suceso que
ocurre sí, y sólo si ocurre sólo uno de los sucesos que forman el espacio
muestral. Se lee suceso A o bien B.
El suceso A o bien B
se presenta solamente si se presenta el suceso A y no se presenta el suceso B,
o al revés. Los sucesos no tienen que presentarse en forma simultánea.
- Sucesos compatibles: dos o más
sucesos son compatibles sí, y sólo si es posible que se presenten en forma
conjunta. Dos o más sucesos son compatibles cuando el suceso intersección
no es el Ø
- Sucesos mutuamente excluyentes o
incompatibles: dos
o más sucesos son sucesos mutuamente excluyentes sí, y sólo si la
presentación de uno de ellos impide, “excluye” la presentación del o de
los otros. Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes cuando el suceso
intersección es el Ø
- Frecuencia relativa: se llama fr
correspondiente a un suceso aleatorio S,
al cociente entre la cantidad de veces que ocurrió el suceso y a cantidad
de veces que se repitió el experimento E.
E: experimento aleatorio S: suceso aleatorio n:
cantidad de veces que se repite E
k: cantidad de veces que se repite S fr(s): frecuencia relativa correspondiente a S
fr(s) = k/n → 0 £ fr(s) £ 1
fr(s) = 1 → sí y sólo si en cada una de las n observaciones de E siempre se presentó el suceso S.
fr(s) = 0 → sí y sólo si en cada una de las n observaciones de E nunca se presentó el suceso S.
Principio de
estabilidad de la frecuencia relativa
- Establece que la
frecuencia relativa correspondiente a un suceso aleatorio, oscila con una
convergencia asintótica, alrededor de un número fijo, cuando la cantidad
de observaciones del experimento aleatorio crece indefinidamente. (lím n→infinito fr(s) = c)
Axiomas para el
cálculo de la probabilidad
Sea
un experimento aleatorio E y su
correspondiente espacio muestral U,
se llama probabilidad de ocurrencia de un suceso aleatorio S a un número real, denotado por P(S), que cumpla:
- La probabilidad
de ocurrencia de un suceso aleatorio es un número real no negativo. P(S)≥0
- Si el suceso
aleatorio es el espacio muestral, a la probabilidad de ocurrencia del
suceso se le asigna el valor 1. S=U
→ P(S) = 1
- Sen S1 y S2 dos sucesos mutuamente
excluyentes pertenecientes a un mismo espacio muestral, la probabilidad de
que se presente alguno de los dos, suceso unión es igual a la probabilidad
de que se presente el suceso S1,
más la probabilidad de que se presente el suceso S2. (S1S2) = Ø → P(S1ÈS2) = P(S1) + P(S2)
- Sean S1; S2; … ; Sk sucesos mutuamente excluyentes de a pares, pertenecientes a
un mismo espacio muestral, la probabilidad de que se presente alguno de
ellos, suceso unión, es igual a la probabilidad de que se presente el
suceso S1 más la probabilidad
de que se presente el suceso S2
más etc, más la probabilidad de que se presente el suceso Sk. (Si Sj) = Ø e i ≠ j → P(S1 S2…Sk)
= P(S1) + P(S2) + …. + P(Sk).
Teoremas
1. Si el suceso
aleatorio es un conjunto vacío, la probabilidad de ocurrencia del suceso
aleatorio es 0.
S = Ø → P(S) = P(Ø) = 0
2. La probabilidad de
ocurrencia de un suceso más la probabilidad de ocurrencia de su complemento es
igual a 1. P(S) + P(S) = 1
3. Si S1 y S2 sin sucesos de un mismo espacio muestral, la probabilidad de
que se presente alguno de los dos, suceso unión incluyente, es igual a la
probabilidad de que se presente el suceso S1
más la probabilidad de que se presente el suceso S2 menos la probabilidad de que se presenten conjuntamente. P(S1ÈS2) =
P(S1) + P(S2) – P(S1S2)
4. Si S1 y S2 sin sucesos de un mismo espacio muestral, la probabilidad de que
se presente sólo uno de los dos, suceso unión excluyente, es igual a la
probabilidad de que se presente el suceso S1
más la probabilidad de que se presente el suceso S2 menos el duplo de la probabilidad de que se presenten
conjuntamente. P(S1ÈS2) = P(S1) + P(S2) – 2P(S1S2)
5. La probabilidad de
ocurrencia de un suceso es un número real comprendido entre 0 y 1. 0 £ P(S) £ 1
Probabilidad marginal
·
Se
llama probabilidad marginal de un suceso S1
a la probabilidad de que se presente un suceso aleatorio S1 incluido en el espacio muestral U asociado a un experimento aleatorio E.
P(S1) =
probabilidad marginal del suceso S1.
Probabilidad conjunta
·
Para dos sucesos: se llama probabilidad
conjunta de dos sucesos S1 y S2 a la probabilidad de que se
presenten en el mismo experimento aleatorio dos sucesos aleatorios S1 y S2 incluidos en el espacio muestral U asociado a dicho experimento E.
P(S1
S2) = probabilidad conjunta S1 S2
·
Para más de dos
sucesos: se
llama probabilidad conjunta de k
sucesos S1, S2, Sk a la probabilidad de que se presenten en el mismo
experimento aleatorio los k sucesos
aleatorios S1, S2, Sk incluidos en el espacio muestral U asociado a dicho experimento E.
P(S1 S2
Sk) = probabilidad conjunta S1 S2…. Sk
Probabilidad
condicional
·
Se
llama probabilidad condicional del suceso S1
tal que se haya presentado el suceso S2 a
la probabilidad de que se presente el suceso S1 con la condición de que previamente se presente el suceso S2.
·
Implica
la probabilidad de que se presente un suceso S1 tomando como espacio muestral al suceso S2 en vez del original U.
El espacio S2 es un espacio reducido
ya que se considera como total de resultados posibles sólo los que pertenecen a
dicho suceso. S1 suceso condicionado
y S2 suceso condicionante.
P(S1 /
S2) = probabilidad condicional de S1 dado S2
·
La
probabilidad condicional del suceso S1 tal
que se haya presentado el suceso S2,
es el cociente entre la probabilidad conjunta entre los dos sucesos S1 y S2 y la probabilidad marginal del
suceso condicionante S2.
P(S1 / S2) = P(S1 S2) / P(S2) para S2 ≠ Ø
§ Si el suceso
condicionante es S1 → P(S2 / S1) = P(S1 S2)/ P(S1) para S1 ≠ Ø
§ Igual para k sucesos
incluidos
§ Si S1 y S2 son sucesos mutuamente
excluyentes: P(S2 / S1) = P(S1 S2) /
P(S1) = 0 y P(S1 / S2) = P(S1 S2) / P(S2) = 0 → S1 y S2 ≠ Ø
§ Si S1 esta incluido en S2: P(S1 / S2) = P(S1 S2) / P(S2) = 1
Operaciones con
probabilidades
1.
Regla del producto o
probabilidad compuesta (conjunciones y e ni): sean dos sucesos S1 y S2 incluidos en un mismo espacio muestral asociado a un
experimento aleatorio E, la
probabilidad conjunta de presentación del suceso S1 y S2 se calcula multiplicando la probabilidad marginal de uno de
los dos y la probabilidad condicional del otro, dado el primero.
P(S2 / S1) = P(S1 S2) / P(S1) para S1 ≠ Ø y P(S1 / S2) = P(S1 S2) / P(S2) para
S2 ≠ Ø
P(S1 S2) = P(S1) x P(S2 / S1) y P(S1 S2) = P(S2) x P(S1 / S2)
2.
Regla de la suma
(conjunciones o u)
- Sean dos sucesos S1
y S2 incluidos en un mismo espacio muestral asociado a un experimento
aleatorio E
- Sean tres sucesos S1 S2 S3 incluidos en un mismo espacio
muestral asociado a un experimento aleatorio E
Sistemas exhaustivos
·
k sucesos mutuamente
excluyentes, S1, S2…Sk, incluidos en
el espacio muestral U, asociados a
un experimento aleatorio E, forman
un sistema exhaustivo sí, y sólo si la suma de las probabilidades marginales
correspondientes a cada una de ellos es igual a uno.
Teorema de la probabilidad total de un suceso
·
Sean
S1,
S2…Sk, k sucesos mutuamente
excluyentes, incluidos en el espacio muestral U asociado a un experimento aleatorio E, que forman un sistema exhaustivo y sea B un seceso aleatorio incluido en el mismo espacio muestral U compatible con cada uno de los
sucesos Si, entonces la probabilidad
total del suceso B es P(B) = P(Si) . P(B/Si) i=1
Teorema de Bayes
·
Sean
S1,
S2…Sk, k sucesos mutuamente
excluyentes, incluidos en el espacio muestral U asociado a un experimento aleatorio E, que forman un sistema exhaustivo y sea B un seceso aleatorio incluido en el mismo espacio muestral U compatible con cada uno de los
sucesos Si, entonces la probabilidad
condicional de un suceso particular incluido en el espacio muestral U, el suceso Sh, habiéndose presentado el suceso
B es P(Sh/B) = [P(Sh) . P(B/Sh)] / P(Si) . P(B/Si)
Sucesos probabilísticamente independientes i=1
·
Dos
o más sucesos son probabilisticamente independientes cuando la presentación de
uno de ellos no modifica el valor de probabilidad de presentación del otro o de
los otros sucesos.
P(S1 / S2) = P(S1) y
P(S2 / S1) = P(S2)
·
Si
S1 y S2 son dos sucesos
probabilisticamente independientes, la probabilidad conjunta (S1 S2) es igual al producto de las
probabilidades marginales
P(S1 S2) = P(S1) .
P(S2)
Diagrama de árbol para el cálculo de probabilidad
conjunta
·
Se
visualiza utilizando un grafo. En la construcción intervienen dos tipos de
elementos: vértices y flechas que unen y que indican las relaciones existentes
entre ellos. Del nodo inicial parten tantas flechas como sucesos mutuamente
excluyentes se estén considerando. Cada flecha termina en un nodo en el cual se
coloca la probabilidad marginal que corresponde. De ahí parten tantas flechas
como sucesos condicionales se generen por la ocurrencia de un segundo suceso, y
así sucesivamente.
Definiciones de probabilidad
a. Clásica:
a. Aplica solamente a
experimentos aleatorios que generen espacios muestrales finitos.
b. El total de los
elementos que forma el espacio muestral son todos los casos posibles que pueden
presentarse cuando se realiza un experimento aleatorio y el total de los
elementos que forman un suceso aleatorio son todos los casos favorables a dicho
suceso.
c. Se llama probabilidad clásica de ocurrencia del
suceso aleatorio S incluido en el
espacio muestral U asociado a un
experimento aleatorio E, al cociente
entre los casos favorables al suceso
y los casos posibles del experimento.
N: casos posibles del experimento. Cantidad total de
elementos igualmente verosímiles de U.
K: casos favorables al suceso. Cantidad total de elementos
que contiene el suceso S.
P(S) = Casos favorables / casos posibles = K/N
b. Frecuencia:
a. Se llama probabilidad frecuencial de ocurrencia
del suceso aleatorio S incluido en
el espacio muestral U asociado a un
experimento aleatorio E, a la
frecuencia relativa estabilizada correspondiente a dicho suceso.
n: cantidad de observaciones. Cantidad de veces que se
repite el experimento aleatorio en las mismas condiciones.
k: frecuencia absoluta. Cantidad de veces que se presento
el suceso aleatorio S en las n repeticiones del experimento.
fr(S) = k/n : frecuencia relativa del suceso S.
c. Subjetiva:
a. Se llama probabilidad subjetiva de ocurrencia
del suceso aleatorio S incluido en
el espacio muestral U asociado a un
experimento aleatorio E, a un valor
personal que un sujeto asigna a la ocurrencia del suceso S basado en su mejor
saber y entendimiento, conforme a los axiomas y teoremas del cálculo de
probabilidad.
Aplicación de operaciones cuando el espacio muestral es
finito y los resultados son posibles
a.
Totales conjuntos y marginales
Se definen los
totales correspondientes a dos sucesos aleatorios, A y B, incluidos en U
asociado a E.
N: cantidad finita de
posibles resultados de E, todos
igualmente verosímiles.
(AB): cantidad de
elementos del espacio U que si
pertenecen al suceso A y si al B.
(AB): cantidad de
elementos del espacio U que si
pertenecen al suceso A y no al B.
(AB): cantidad de
elementos del espacio U que no
pertenecen al suceso A y si al B.
(AB): cantidad de
elementos del espacio U que no
pertenecen al suceso A y no al B.
N: total de casos
posibles del experimento E.
(AB): total conjunto AB. Total de casos favorables al suceso
conjunto AB.
(AB): total conjunto AB. Total de casos favorables al suceso
conjunto AB.
(AB): total conjunto AB. Total de casos favorables al suceso
conjunto AB.
(AB): total conjunto AB. Total de casos favorables al suceso
conjunto AB.
(A): total marginal A. Total de casos favorables al suceso
conjunto A.
(B): total marginal B. Total de casos favorables al suceso conjunto
B.
(A): total marginal A. Total de casos favorables al suceso
conjunto A.
(B): total marginal B. Total de casos favorables al suceso
conjunto B.
Se verifica que: Tabla
de Contingencia
(AB) + (AB) + (AB) + (AB) = N
(AB) + (AB) = (A)
(AB) +(AB) = (B)
(AB) + (AB) + = (A)
(AB) + (AB) + = (B)
(A) + (A) = N y (B) + (B) = N
b.
Probabilidad conjunta
·
Sean
dos sucesos compatibles incluidos en un mismo espacio muestral finito, la probabilidad conjunta es el cociente
entre un total conjunto y el tamaño del espacio muestral.
§ Para dos sucesos
compatibles A y B se pueden calcular:
-
probabilidad
de que se presente el suceso A y el B
-
probabilidad
de que se presente el suceso A y no el B
-
probabilidad
de que no se presente el suceso A y si el B
-
probabilidad
de que no se presente el suceso A y no el B
c.
Probabilidad marginal
·
Sean
dos sucesos compatibles incluidos en un mismo espacio muestral finito, la probabilidad marginal es el cociente
entre un total marginal y el tamaño del espacio muestral.
·
Para
dos sucesos compatibles A y B se pueden calcular:
-
probabilidad
de que se presente el suceso A
-
probabilidad
de que se presente el suceso B
-
probabilidad
de que no se presente el suceso A
-
probabilidad
de que no se presente el suceso B
d.
Probabilidad condicional
·
Sean
dos sucesos compatibles incluidos en un mismo espacio muestral finito, la probabilidad condicional es el cociente
entre un total conjunto y el total marginal del suceso condicionante.
-
Para
dos sucesos compatibles A y B si el sucesos condicionado es el suceso B y el
suceso condicionante es el suceso A, la probabilidad condicional es
-
Si
en el numerador y denominador se divide por N, cantidad de elementos de espacio
muestral U, se tiene
-
Para
dos sucesos compatibles A y B si el suceso condicionado es el suceso A y si el
suceso condicionante es el suceso B, la probabilidad condiciona es
-
Si
el suceso condicionado es el suceso B y el suceso condicionante es el suceso A,
la probabilidad condicional es
-
Si
el suceso condicionado es el suceso A y el suceso condicionante es el suceso B,
la probabilidad condicional es
-
Si
el suceso condicionado es el suceso B y el suceso condicionante es el suceso A,
la probabilidad condicional es
-
Si
el suceso condicionado es el suceso A y el suceso condicionante es el suceso B,
la probabilidad condicional es
-
Si
el suceso condicionado es el suceso B y el suceso condicionante es el suceso A,
la probabilidad condicional es
-
Si
el suceso condicionado es el suceso A y el suceso condicionante es el suceso B,
la probabilidad condicional es
Al capitulo 5
0 comentarios:
Publicar un comentario