Capitulo 3
Datos no
agrupados: conjunto
de datos dispuestos tal como se presentan. Menos de 20.
Datos agrupados en
clases de equivalencias: cuando contamos con gran cantidad de datos de una
variable. Se ordenan para poder mostrar la regularidad estadística.
Frecuencia absoluta: cantidad de datos o
valores observados de una variable que pertenecen a una misma clase de
equivalencia.
Frecuencia relativa: cociente entre la
frecuencia absoluta y la cantidad total de observaciones.
Distribución
de frecuencia: se llama así a una relación de clasificación de los datos que
asigna a cada valor, o grupo de valores que formen una misma clase de
equivalencia, de una o más variables, su correspondiente frecuencia.
1.
Hay que establecer cuáles serán las clases de
equivalencias en las que quedará particionado el recorrido de la variable. Cada
elemento debe pertenecer a una y solo una de ellas.
2.
Luego se cuenta la cantidad de datos que
pertenecen a cada una de ellas, obteniendo la frecuencia absoluta y a partir de
esta se obtiene la frecuencia relativa.
·
Se utiliza para tener los datos estadísticos, organizados,
clasificados y distribuidos en las distintas clases = Datos Agrupados en una distribución de frecuencia.
·
Según la cantidad de variables que se quieran clasificar puede
ser:
o
Univariada: cuando
se clasifica solamente una variable
o
Polivariada: cuando
se clasifican conjuntamente dos o más variables.
o
Bivariada: cuando
se clasifican sólo dos variables.
Variable cuantitativas discretas n: cantidad de observaciones x:
variable en estudio
a)
Frecuencia
absoluta simple (f): se llama así a la cantidad de veces que se repite un valor de la
variable. Se debe cumplir 0 ≤ f ≤ n y ∑f
= n.
Frecuencia absoluta simple. Tabular: consiste en un cuadro
de dos columnas. Columna matriz donde
se colocan los valores de la variable en todo su recorrido y la segunda que
corresponde a la frecuencia absoluta simple asociada a cada valor de la
variable.
Frecuencia absoluta simple. Bastones: abscisas variable y
ordenada frecuencia simple.
b)
Frecuencia
absoluta acumulada (F= f + F1): se llama así a la cantidad de
unidades experimentales con un valor de la variable menor o igual a un valor
dado.
Frecuencia absoluta acumulada. Escalonado: abscisas variable y
ordenada frecuencia acumulada. En el primer valor de la variable con f ≠ 0 se
marca un punto cuya ordenada sea igual a la F de ese valor. A partir de ese punto se traza
una paralela al eje de abscisas hasta el valor de la variable.
Frecuencia absoluta acumulada. Tabular: a la frecuencia
absoluta simple correspondiente al valor de la variable se le suma la
frecuencia acumulada hasta el valor anterior.
c)
Frecuencia
relativa simple (fr = f/n): cociente entre f y la cantidad de observaciones. Se debe cumplir 0 ≤ fr ≤ 1 y ∑fr = 1. Se representa con
un gráfico de bastones. La longitud de cada uno de los bastones representa la
proporción de unidades experimentales que tienen el valor de la variable.
d) Frecuencia relativa acumulada (Fr = F/n): cociente
entre F y la cantidad de
observaciones. Se representa con un gráfico de escalones. La altura de cada
escalón representa la proporción de unidades experimentales que tienen el valor
de variable menor o igual al correspondiente.
Variables
cuantitativas continuas n:
cantidad de observaciones x: variable en estudio
a)
Intervalo de clases: se establecen para
analizar el comportamiento de una variable cuantitativa continua. A la amplitud
total del recorrido se lo particiona en clases de equivalencia = intervalos.
A = xM – xm. A: amplitud total del recorrido de la variable continua. xM: máximo valor razonable que puede asumir la variable. xm: mínimo valor razonable que puede asumir la variable.
A = xM – xm. A: amplitud total del recorrido de la variable continua. xM: máximo valor razonable que puede asumir la variable. xm: mínimo valor razonable que puede asumir la variable.
h = ent (1+log2n) = ent (1+logn/log2).
h: cantidad
de intervalos de clases necesarios para clasificar n observaciones.
Una vez que tenemos h hay que calcular el tamaño de cada
intervalo. La amplitud de cada uno de los intervalos es el cociente entre la
amplitud total y la cantidad de intervalos. a: amplitud de cada intervalo. a
= A / h
Li: límite inferior de cada intervalo. Ls: límite superior de cada intervalo. En variable continuas Ls
=Li del intervalo siguiente.
b)
Frecuencia absoluta
simple (f):
cantidad de unidades experimentales cuyos valores observados de la variable
pertenecen a un mismo intervalo de clase. Se debe
cumplir 0 ≤ f ≤ n y ∑f = n.
Frecuencia absoluta simple. Tabular: consiste en un cuadro
de dos columnas. En la primera se colocan los intervalos de clases y en la
segunda la frecuencia absoluta simple asociada a cada valor del intervalo.
Distribución de frecuencias absolutas simples. Histograma: la f de un
intervalo está representada por la superficie de un rectángulo cuya base es la
amplitud del intervalo. Y (altura
del rectángulo) = f/a. En el eje de
las abscisas se colocan los valores marcando los intervalos y en el eje de las
ordenadas la altura de los rectángulos. La superficie total que cubre es el
histograma es igual al total de observaciones.
c)
Frecuencia absoluta
acumulada (F):
cantidad de unidades experimentales que tienen un valor observado de la
variable menor al límite superior de un intervalo.
Frecuencia absoluta acumulada. Tabular: a la frecuencia
absoluta simple correspondiente a un intervalo se le suma la frecuencia absoluta
simple de todos los intervalos anteriores.
Distribución de frecuencias absolutas acumuladas. Ojiva: eje de abscisas
variable marcando los intervalos y en el eje de las ordenadas la frecuencia
absoluta acumulada. El gráfico comienza en el límite inferior del primer
intervalo = 0. El primer punto es el punto de la coordenada (Li1:0). Al límite
superior del primer intervalo le corresponde una ordenada igual a F hasta ese valor, luego el segundo punto
es (Ls1:F1). La ojiva es el poligonal no decreciente que une todos los puntos.
d)
Frecuencia relativa
simple (fr = f/n):
cociente entre la f y la cantidad de
observaciones. Se debe cumplir 0 ≤ fr ≤ 1 y ∑fr = 1. Se representa con un histograma donde la superficie
de cada rectángulo representa la proporción de unidades experimentales que
pertenecen a cada intervalo.
e)
Frecuencia relativa
acumulada (Fr = F/n):
cociente entre la F y la cantidad de
observaciones. Se representa con la ojiva. La ordenada para cada valor de la
variable representa la proporción de unidades experimentales que tienen el
valor de variable menor o igual al correspondiente.
Medidas que resumen
información: se
llaman parámetros estadísticos
cuando se calculan con la totalidad de los valores de una o más variables y
cuando son calculadas usando algún modelo matemático que describa el
comportamiento probabilístico de las poblaciones.
1)
Medidas de
concentración: aquellas
medidas con las cuales se pueden establecer el porcentaje de datos que está
concentrado dentro de un determinado intervalo o un intervalo que contenga una
determinada concentración porcentual de datos.
a. Se mide la
concentración en porcentaje a partir de un valor conocido de la variable.
b. A partir de un
porcentaje conocido de concentración se determina el valor de la variable hasta
donde se acumula el porcentaje.
Rango percentilar
·
Frecuencia
relativa porcentual que se acumula desde el mínimo valor del recorrido hasta un
valor dado de la variable.
·
Se
mide para un valor específico de la variable y brinda el porcentaje de daos que
se acumula entre el menor valor de la variable y el valor dado. Se calcula con la Fr.
·
xm: mínimo valor de la
variable. xs: valor dado
de la variable. k(xs):
rango percentilar correspondiente al valor de la variable. k(xs) = Fr(xs)
x 100 (en el intervalo se concentra k% de los datos).
·
La
diferencia entre los rangos percentilares de dos valores de la variable x mide
la concentración de datos que hay en el intervalo formado por ellos.
·
Variable discreta: se determina
directamente por la frecuencia relativa acumulada hasta el valor dado.
·
Variable continua: 1. Cuando el valor
dado coincide con el Ls de un
intervalo, el RP se determina por la
frecuencia relativa acumulada hasta ese valor. 2. Cuando el valor dado no
coincide con el Ls se requiere de
una fórmula de interpolación lineal que calcula F hasta el valor de la variable
que sea interior a un determinado intervalo.
F (xs) = F
(s-1) + { [ (xs-Li) / a ] x f } ó Fr (xs) = Fr
(s-1) + { [ (xs-Li) / a ] x fr }
F (s-1): frecuencia absoluta acumulada hasta el
límite anterior al intervalo.
Fr (s-1): frecuencia relativa acumulada hasta el
límite anterior al intervalo.
·
Determinación
gráfica: dado
un valor de la variable hay que localizarlo en el eje de las abscisas. A partir
de ese punto se traza un segmento paralelo al eje de ordenadas hasta
intersectar con la ojiva. La ordenada correspondiente es el valor de la F.
Percentiles
·
De
orden k, aquel valor hasta donde se
acumula, a lo sumo el k% de los
datos y desde donde se acumula a lo sumo
el (100-k)%.
·
Se
localizan en variables cualitativas medidas en escala ordinal, cuantitativas
con dato sin agrupar y cuantitativas con datos organizados en una distribución
de frecuencia.
·
ORP: orden relativo del
percentil = rango percentilar.
·
OAP: orden absoluto del
percentil, es la F correspondiente
al valor k y se obtiene calculando
el k% del total de las observaciones
n. OAP = (k.n)/100
·
Variable discreta: se determina el OAP, si no coincide con algún valor de F se busca el primer valor de ésta que
supera el OAP. Si OAP coincide con algún valor de la F
entonces el percentil de orden k es
la semi-suma entre el valor de la variable que le corresponde y la siguiente.
·
Variable continua: se determina el OAP, si OAP coincide con algún valor de
la F entonces el valor del Ls del intervalo correspondiente es el
percentil de orden k. Si no coincide con algún valor de F se busca el primer valor de ésta que
supera el OAP. El intervalo que le
corresponde es el que contiene al percentil buscado. Para determinarlo se
utiliza la fórmula de interpolación:
Xk = Lip
+ { [ (k.n) / 100 ] – F(p-1) } / f p } . a
p = orden del intervalo
que contiene el percentil. k = ORP. Lip = límite inferior del
intervalo que contiene el percentil. (k.n)
/ 100 = OAP – orden absoluto del percentil. F(p-1) = F hasta el intervalo anterior al que contiene
al percentil. f p = f del
intervalo que contiene el percentil. a =
amplitud.
·
Determinación
gráfica: dado
un orden relativo de percentil = k
hay que transformarlo en un valor de F
OAP. Se localiza este valor en el eje de ordenadas y a partir de ese punto se
traza un segmento paralelo al eje de abscisas hasta intersectar con la ojiva.
La abscisa del punto de intersección es k.
Percentiles
especiales
·
Deciles: percentiles de orden
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 y 100 que forman entre dos consecutivos de
ellos, intervalos donde se concentran, en cada uno, la décima parte (10%) de
los datos.
·
Quintiles: percentiles 20, 40, 60, 80 y 100 que forman, entre dos
consecutivos de ellos, intervalos donde se concentran, en cada uno, la quinta
parte (20%) de los datos.
·
Cuartiles: percentiles de orden
25, 50 y 75 que forman, entre dos consecutivos de ellos, intervalos donde se
concentran, en cada uno la cuarta parte (25%) de los datos.
2)
Medidas de posición o
tendencia central: se
llaman medidas de posición de una variable,
a aquellos valores destacados con los cuales es posible representar a la totalidad
de los valores observados de la variable.
a. No necesariamente son
valores de la variable, pero sí están expresadas en la misma magnitud, y pueden
ser localizadas en el mismo eje de coordenadas donde este representada la
variable.
b. A partir de un porcentaje
conocido de concentración se determina el valor de la variable hasta donde se
acumula el porcentaje.
Modo o Moda
·
Se
llama así al valor de la variable que se presenta con mayor frecuencia.
·
Tiene
sentido si los datos están agrupados en una distribución de frecuencia donde no
todos los valores de la variable presentan igual frecuencia simple.
·
Variable cualitativa: se puede determinar
cualquiera sea la escala en que esté medida. Corresponde a aquella clase que
presente mayor frecuencia.
·
Variable cuantitativa: es el valor de
mayor frecuencia dentro de un entorno de valores de la variable con mayor
frecuencia.
·
Unimodales: distribuciones con un solo modo. Polimodales: distribuciones
con más de un modo. Bimodales: las que tienen dos. Trimodales:
las que tienen tres.
·
Variable discreta: se determina mediante
la inspección de la columna de las frecuencias simples, absolutas o relativas.
Valor con mayor frecuencia.
Determinación
gráfica: se
utiliza el gráfico de bastones. El bastón de máxima longitud es el modo.
·
Variable continua: no se puede encontrar un valor pero si un intervalo de
mayor frecuencia simple. El modo es un valor que pertenece a dicho intervalo y
para localizarlo hay que utilizar una fórmula de interpolación.
Modo(x) = Li + { [ d1/
(d1+d2) ] . a }
Li = límite inferior del intervalo modal. d1 = diferencia entre la frecuencia
simple del intervalo modal y la frecuencia simple del intervalo anterior. d2 = diferencia entre la frecuencia
simple del intervalo modal y la frecuencia simple del intervalo posterior. a = amplitud.
Determinación
gráfica: se
utiliza el gráfico de histograma.
Mediana
·
Se
llama mediana de una variable al valor que supera y es superado por, a lo sumo,
igual cantidad de observaciones.
·
Se
llama orden mediano a la ubicación de la mediana dentro del recorrido de la
variable.
OM = [(n+1)/2]º
·
Variables
cuantitativas datos no agrupados: primero se ordenan los valores observados
de la variable en forma creciente. Luego se determina el OM. La mediana es el valor que ocupa el OM.
Si la cantidad de datos es impar la mediana es el valor del que está en el medio, si la cantidad es par es el valor que surge de la semi suma de los dos valores centrales.
Si la cantidad de datos es impar la mediana es el valor del que está en el medio, si la cantidad es par es el valor que surge de la semi suma de los dos valores centrales.
·
Variables
cuantitativas datos agrupados en una distribución de frecuencia: el OM pasa a ser OAM (orden absoluto de la mediana). OAM = n/2. ORM (orden relativo de la mediana) ORM = 50%
·
Variable discreta: se determina el OAM. Si no coincide con algún valor de
la F entonces se busca el primer
valor de ésta que supera el OAM. Si
coincide con algún valor de la F la
mediana es la semi suma entre el valor de la variable que le corresponde y el
siguiente.
·
Variable continua: se determina el OAM. Si coincide con algún valor de la F la mediana es el valor del límite
superior del intervalo. Si no coincide con algún valor de la F entonces se busca el primer valor de
ésta que supera el OAM. El intervalo que le corresponde es el que
contiene a la mediana. Se utiliza una fórmula de interpolación para
determinarlo:
Me(x) = Lim
+ { [ (n/2) - F(m-1) ] / fm } . a}
F(m-1) = F hasta el
intervalo anterior al que contiene a la mediana. fm = frecuencia simple del
intervalo que contiene a la mediana.
·
Características:
1.
el
valor de la media es igual al percentil 50
2.
el
valor de la mediana no se ve afectado por la presencia de valores extremos de
la variable.
3.
la
suma del módulo de las desviaciones con respecto a la mediana es mínima. Si se
calcula el módulo de las desviaciones con respecto a un número cualquiera que
no sea la mediana y luego se suman, el resultado siempre será mayor que el
obtenido con la suma del módulo de las desviaciones con respecto a la mediana.
·
Determinación
gráfica: en
las variables cuantitativas se utiliza la ojiva. En el eje de las ordenadas se
determina la ojiva y a partir de ese punto se traza un segmento hasta
intersectar con la ojiva. La abscisa corresponde a la mediana.
Promedios simples
·
Se
llaman promedios simple de una variable a ciertos valores que se obtienen
mediante la aplicación de operadores matemáticos, a la totalidad de los valores
observados de dicha variable.
·
Se
calculan solo cuando las variables son cuantitativas.
a. Media Aritmética (“ si
todas.. tuviese en mismo.., cada una tendría..”)
·
De
una variable x es el número que resulta de sumar todos los valores observados
de la variable y dividir esta suma por la cantidad de unidades experimentales.
·
Es
el cociente entre el total observado de la magnitud en estudio y la cantidad de
elementos con los cuales está formado el total.
·
Valores de una
variable sin agrupar: X = ∑x / n
·
Valores de una
variable discreta agrupados en una distribución de frecuencia simple: cada valor de la
variable debe multiplicarse por su frecuencia absoluta simple porque ésta
representa la cantidad de veces que se repite ese valor. X = ∑x.f / n
·
Valores de una
variable continua agrupados en una distribución de frecuencia simple: no hay valores
puntuales de la variable por lo que se debe determinar un punto de cada
intervalo que represente la clase. Este punto es el punto medio del intervalo y
representa el valor de la variable en ese intervalo. X = (Li + Ls) / 2. Cada valor de la variable debe multiplicarse por
su frecuencia absoluta simple porque ésta representa la cantidad de veces que
se repite ese valor. X = ∑x.f / n
·
Valores de una
variable discreta o continua, agrupados en una distribución de frecuencia
relativa: fr = f/n → X = ∑x.f
/ n → X = ∑x . f/n → X = ∑x . fr
·
Desviación: con respecto a la
media aritmética es la diferencia entre un valor individual de la variable y su
media aritmética. d = x – X
·
Propiedades:
§ La suma de las
desviaciones con respecto a la media aritmética es cero. La media aritmética
compensa las desviaciones – con las +. ∑(x-X)
= 0 / ∑(x-X). f = 0
§ La suma del cuadrado
de las desviaciones con respecto a la media aritmética es mínima. ∑(x-X)2 = mín / ∑(x-X)2 .
f = mín
§ La media aritmética
de una variable x es igual a un número real arbitrario más la media aritmética
de los desvíos con respecto al número real. X = c + [∑(x-c) / n] / X = c + [∑(x-c). f / n]
§ La media aritmética
de una constante es la constante misma.
§ La media aritmética
de la suma o diferencia entre una variable y una constante, es igual a la media
aritmética de la variable más o menos la constante.
§ La media aritmética
del producto, o cociente, entre una variable y una constante no nula es igual a
la media aritmética de la variable multiplicada o dividida por al constante.
§ En la transformación
afin de una variable se cumple que la media aritmética de la transformación es
la transformación afín de la media aritmética de la variable.
y = a + bx → Y = a+bX
§ La media aritmética
de la suma de dos o más variables correspondientes a la misma magnitud y
expresadas en la misma unidad de medida, es igual a, la suma del producto entre
la cantidad de observaciones y la media aritmética de cada una de las
variables, dividida por la suma de la cantidad de observaciones.
b. Media Geométrica
·
De
una variable x es el número resultante de multiplicar todos los valores
observados de la variable extrayendo a este producto la raíz de índice igual a
la cantidad de datos.
·
Desventajas: los valores de la
variable deben ser no nulos y necesariamente positivos. La obtención es
complicada.
c. Media Armónica
·
De
la variable x es el número resultante de hacer el cociente entre la cantidad de
observaciones y la suma de las inversas de todos los valores observados de la
variable.
Promedios ponderados
·
Se
llama ponderación a aquella cantidad que permite asignar a cada valor de la
variable en estudio una determinada importancia o peso relativo.
·
Pueden
ser subjetivas cuando un sujeto, sobre la base de un buen saber y entender
asigna una cantidad la ponderación que considera adecuada. u objetivas cuando
hay otra variable asociada cuyos valores pueden ser usados como ponderaciones.
·
Promedio aritmético
ponderado:
surge de hacer el cociente entre, la suma del producto de cada valor de la
variable y su correspondiente ponderación y la suma de las ponderaciones.
3)
Medidas de
variabilidad: son
aquellas que permiten estudiar, cómo se desvían, los valores observados de una
variable, con respecto a alguna medida de tendencia central.
Desvío medio DMe = ∑ x-X
Datos agrupados en f: DMe = ∑ (x-X) . f / Datos agrupados en
fr: DMe = ∑ (x-X) . fr
·
Es
una medida de variabilidad que mide el promedio aritmético del módulo las
desviaciones de los valores observados de una variable con respecto a una
medida de tendencia central.
·
Diferencia
entre el desvío y el promedio.
Suma de cuadrados SC = ∑ (x-X)2
Variable sin agrupar: ∑ x2 - nX2 . Variable
continua o discreta agrupada en distribución f: ∑ x2 .f - nX2
·
Mide
la variabilidad total de los valores observados de una variable con respecto a
su media aritmética.
·
Surge
de sumar el cuadrado de todos los desvíos que se producen entre cada valor
observado de la variable y la media aritmética.
Varianza V(x) = ∑ (x-X)2 /n
Variable sin agrupar: V(x) = (∑ x2 /n) - X2.
Variable continua o
discreta agrupada en distribución f: V(x) = [∑ (x-X)2 . f] / n → V(x) = (∑ x2 . f /n)- X2.
Variable continua o
discreta agrupada en distribución fr: V(x) = [∑ (x-X)2. fr] → V(x) = (∑ x2
. fr)- X.
·
Mide
el promedio aritmético del cuadrado de los desvíos que se producen entre cada
valor de la variable y la media aritmética.
·
Surge
de dividir la suma de cuadrados entre la cantidad de observaciones.
·
Cuando
mayor es el valor numérico mayor es la variabilidad que presenta la variable y
menor es la representatividad de la media aritmética.
·
Propiedades:
§
Es
un número real no negativo.
§
La
varianza de una constante es nula.
§
La
varianza de la suma de una variable más o menos una constante es igual a la
varianza de la variable.
§ La varianza del
producto o cociente de una variable por o dividido una constante no nula, es
igual a la varianza de la variable por o dividido la constante al cuadrado.
§ Dada la
transformación afín de la variable y = a
+ bx → V(Y) = b2 V(X)
Desvío estándar
S(x) = +√V(x)
·
De
una variable es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
·
Es
una media de variabilidad absoluta porque su valor numérico está expresado en
la misma dimensión de la variable manteniendo la magnitud.
Coeficiente de variación
CV(x) = S(x) / X
·
Es
un número puro desprovisto de magnitud.
·
Es
una medida de variable relativa. Su valor numérico permite establecer criterios
generales acerca de la homogeneidad de los datos, de la representatividad de la
media aritmética y la comparación con la variabilidad de otras variables aunque
las unidades de medida o las magnitudes sean distintas.
·
Si
el CV(x) ≤ se puede considerar que
la variable en estudio es homogénea y la media aritmética es representativa.
Momentos empíricos
·
Son
operadores matemáticos que se obtienen a partir de los valores observados de la
variable.
·
Absolutos: se llama momento
empírico absoluto de orden k de la variable, al promedio aritmético de la
potencia k-ésima de los valores observados de la variable. El de orden 1 es
igual a la media aritmética.
Frecuencia
absoluta: Mk(x) = (∑ xk . f ) / n
Frecuencia relativa: Mk(x) = (∑ xk . fr ) / n
·
Centrado: se llama momento
empírico absoluto de orden k de la
variable, al promedio aritmético de la potencia k-ésima de los desvíos, de cada
uno de los valores individuales observados de la variable, con respecto a la
media aritmética. El momento
empírico centrado de orden 2 es igual a la varianza.
Frecuencia absoluta:
Mk(x) = ∑(x – X)k .f )/n
Frecuencia relativa: Mk(x) = ∑(x – X)k .fr)/n
·
A
partir de los momentos empíricos absolutos y/o centrados es posible verificar
la concordancia de la distribución de frecuencias con algún modelo matemático específico,
comparando los momentos empíricos con los momentos teóricos correspondiente al
modelo matemático en cuestión.
4)
Medidas de forma:
·
Una
distribución de frecuencias es simétrica
cuando, si la variable es discreta,
las frecuencias simples correspondientes a valores de la variable que
equidistan de la media aritmética son iguales; o, si la variable es continua, las frecuencias simples de los intervalos
cuyos puntos medios equidisten de la media aritmética, son iguales.
·
Curtosis: se llama así a una
determinada relación entre la amplitud total y la máxima frecuencia, que
presenta una distribución de frecuencia.
·
Coeficiente de
asimetría:
de una variable X, es el cociente
entre el momento centrado de orden 3 y la potencia tercera el desvío estándar.
As(x) = mc3 (x) / S3(X)
a.
Cuando
una distribución de frecuencias es simétrica
todos los momentos centrados de orden impar, son nulos dado que la suma de una
determinada potencia impar de las desviaciones positivas multiplicadas por las
respectivas frecuencias simples, se compensan con la suma de dicha potencia
impar de las desviaciones negativas multiplicadas por sus respectivas
frecuencias simples. As(x) = 0 / As(x) <
0.05
b.
Cuando
una distribución de frecuencias es asimétrica
el momento centrado 3 no es nulo. As(x) ≥
0.05
c.
Si
el mc3 es positivo, quiere decir que la suma del cubo de las desviaciones
positivas multiplicadas por las respectivas frecuencias simples es mayor que la
suma del cubo de las desviaciones negativas multiplicadas por las respectivas
frecuencias simples. As(x) > 0
d.
Si
el mc3 es negativo, quiere decir que la suma del cubo de las desviaciones
negativas multiplicadas por las respectivas frecuencias simples es mayor que la
suma del cubo de las desviaciones positivas multiplicadas por las respectivas
frecuencias simples. As(x) < 0
·
Coeficiente de
curtosis:
de una variable X, es el valor que
surge de restarle 3 al cociente entre, el mc4 y la potencia cuarta del desvío
estándar.
K(x) = [mc4 (x) / S4(X)] – 3
a.
Coeficiente
de curtosis de la función normal estandarizada cero = curtosis media. K(x) = 0
b.
Coeficiente
de curtosis positiva = leptocúrtica. K(x)
> 0
c.
Coeficiente
de curtosis negativa = platicúrtica. K(x)
< 0
·
Variable de cálculo: es una
transformación afin de los valores observados de la variable en estudio que se
genera de modo tal que no represente a alguna magnitud, que sus valores sean
números enteros, y que el incremento de ellos sea unitario.
xc = (x-C) / a
a= distancia entre cada uno de los valores de la variable discreta y amplitud
de cada intervalo variable continua.
C= uno de valores de la variable elegido arbitrariamente de la variable
discreta y uno de los puntos medios de la variable representante de la clase de
un intervalo seleccionado de la variable continua.
Al capitulo 4
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